Задача Кузнецов Пределы 11-29

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{tg} \left(\pi \left(1+\frac{x}{2}\right)\right)} {\ln (x+1)}$

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln {(1+x)} \sim x$, при $x \to 0$

$\operatorname{tg}{\frac{\pi x}{2}} \sim \frac{\pi x}{2}$, при $\frac{\pi x}{2} \to 0$

Получаем:

$\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{tg} \left(\pi \left(1+\frac{x}{2}\right)\right)} {\ln (x+1)} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{tg} \left(\pi + \frac{\pi x}{2}\right)} {x} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{tg} \left(\frac{\pi x}{2}\right)} {x} =\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\pi x}{2}} {x} = \lim_{x\to 0} \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$