Задача Кузнецов Пределы 11-31

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{2x\sin {x}}{1-\cos{x}}$

Решение

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$1 - \cos{x} \sim \frac{x^2}{2}$, при $x \to 0$

$\sin {x} \sim x$, при $x \to 0$

Получаем:

$\lim_{x\to 0} \frac{2x\sin {x}}{1-\cos{x}} = \left\{\frac{0}{0}\right\} = \lim_{x\to 0} \frac{2x\cdot x}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$