Задача Кузнецов Пределы 12-1

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{\ln {x}}$

Решение

Замена:

$x=y+1 \Rightarrow y=x -1$

$x\to 1 \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$\lim_{x\to 1} \frac{x^2-1}{\ln {x}} = \lim_{y\to 0} \frac{(y+1)^2-1}{\ln {(y+1)}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln {(1+y)} \sim y$, при $y \to 0$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{y^2+2y+1-1}{y} = \lim_{y\to 0} \frac{y^2+2y}{y} =\lim_{y\to 0} (y+2) = 0+2=2$