Задача Кузнецов Пределы 12-19

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to \pi} \frac{e^{\pi} -e^x}{\sin{5x}-\sin{3x}}$

Решение

$\lim_{x\to \pi} \frac{e^{\pi} -e^x}{\sin{5x}-\sin{3x}} = \lim_{x\to \pi} \frac{-e^{\pi}\left(e^{x-\pi} - 1\right)}{2\sin{\frac{5x-3x}{2}}\cos{\frac{5x+3x}{2}}} =$

$= \lim_{x\to \pi} \frac{-e^{\pi}\left(e^{x-\pi} - 1\right)}{2\sin{x}\cos{4x}} =$

Замена:

$x=y+\pi \Rightarrow y=x - \pi$

$x\to \pi \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{-e^{\pi}\left(e^{y+\pi-\pi} - 1\right)}{2\sin{(y+\pi)}\cos{4(y+\pi)}} = \lim_{y\to 0} \frac{-e^{\pi}\left(e^{y} - 1\right)}{-2\sin{y}\left(-\cos{(4y+4\pi)}\right)} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{e^{\pi}\left(e^{y} - 1\right)}{2\sin{y}\cos{4y}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin{y} \sim y$, при $y \to 0(y \to 0)$

$e^{y}-1 \sim y$, при $y \to 0$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{e^{\pi}y}{2y\cos{4y}} =\lim_{y\to 0} \frac{e^{\pi}}{2\cos{4y}} = \frac{e^{\pi}}{2\cos{(4\cdot0)}} = \frac{e^{\pi}}{2}$