Задача Кузнецов Пределы 12-2

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x^2-x+1}-1}{\ln {x}}$

Решение

Замена:

$x=y+1 \Rightarrow y=x -1$

$x\to 1 \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{x^2-x+1}-1}{\ln {x}} = \lim_{y\to 0} \frac{\sqrt{(y+1)^2-(y+1)+1}-1}{\ln {(y+1)}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{\sqrt{y^2+2y+1-y-1+1}-1}{\ln {(y+1)}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln {(1+y)} \sim y$, при $y \to 0$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{\sqrt{y^2+y+1}-1}{y} = \lim_{y\to 0} \frac{\left(\sqrt{y^2+y+1}-1\right)\left(\sqrt{y^2+y+1}+1\right)}{y\left(\sqrt{y^2+y+1}+1\right)} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{y^2+y+1-1}{y\left(\sqrt{y^2+y+1}+1\right)}= \lim_{y\to 0} \frac{y^2+y}{y\left(\sqrt{y^2+y+1}+1\right)} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{y+1}{\sqrt{y^2+y+1}+1} = \frac{0+1}{\sqrt{0^2+0+1}+1} = \frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{2}$