Задача Кузнецов Пределы 12-29

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 1} \frac{3-\sqrt{10-x}}{\sin {3\pi x}}$

Решение

Замена:

$x=y+1 \Rightarrow y=x -1$

$x\to 1 \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$\lim_{x\to 1} \frac{3-\sqrt{10-x}}{\sin {3\pi x}} = \lim_{y\to 0} \frac{3-\sqrt{10-(y+1)}}{\sin {3\pi (y+1)}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{3-\sqrt{9-y}}{\sin {(3\pi y+3\pi )}} =\lim_{y\to 0} \frac{3-\sqrt{9-y}}{\sin {(3\pi y+\pi )}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{3-\sqrt{9-y}}{-\sin {3\pi y}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin{3\pi y} \sim 3\pi y$, при $y \to 0(3\pi y \to 0)$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{3-\sqrt{9-y}}{-3\pi y}= \lim_{y\to 0} \frac{\left(3-\sqrt{9-y}\right)\left(3+\sqrt{9-y}\right)}{-3\pi y\left(3+\sqrt{9-y}\right)} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{9-(9-y)}{-3\pi y\left(3+\sqrt{9-y}\right)} = \lim_{y\to 0} \frac{y}{-3\pi y\left(3+\sqrt{9-y}\right)} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{1}{-3\pi\left(3+\sqrt{9-y}\right)} = \frac{1}{-3\pi\left(3+\sqrt{9-0}\right)} = - \frac{1}{18\pi}$