Задача Кузнецов Пределы 12-3

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to \pi} \frac{1+\cos{3x}}{\sin^{2}{7x}}$

Решение

Замена:

$x=y+\pi \Rightarrow y=x -\pi$

$x\to \pi \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$\lim_{x\to \pi} \frac{1+\cos{3x}}{\sin^{2}{7x}} = \lim_{y\to 0} \frac{1+\cos{3(y+\pi)}}{\sin^{2}{7(y+\pi)}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{1+\cos{\left(3y+3\pi\right)}}{\sin^{2}{\left(7y+7\pi\right)}}= \lim_{y\to 0} \frac{1+\cos{\left(3y+\pi\right)}}{\sin^{2}{\left(7y+\pi\right)}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{1-\cos{3y}}{\left(-\sin{7y}\right)^2} =\lim_{y\to 0} \frac{1-\cos{3y}}{\sin^{2}{7y}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin {7y} \sim 7y$, при $y \to 0 (7y\to 0)$

$1 - \cos {3y} \sim \frac{(3y)^2}{2}$, при $y \to 0$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{\frac{(3y)^2}{2}}{(7y)^2} = \lim_{y\to 0} \frac{9y^2}{2\cdot 49y^2} = \lim_{y\to 0} \frac{9}{2\cdot 49} = \frac{9}{98}$