Задача Кузнецов Пределы 12-31

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to \pi} \frac{\cos{3x} - \cos{x}}{\operatorname{tg}^{2}{2x}}$

Решение

$\lim_{x\to \pi} \frac{\cos{3x} - \cos{x}}{\operatorname{tg}^{2}{2x}} = \lim_{x\to \pi} \frac{-2\sin{\frac{3x+x}{2}}\sin{\frac{3x-x}{2}}}{\operatorname{tg}^{2}{2x}} =$

$= \lim_{x\to \pi} \frac{-2\sin{2x}\sin{x}}{\operatorname{tg}^{2}{2x}} =$

Замена:

$x=y+\pi \Rightarrow y=x -\pi$

$x\to \pi \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{-2\sin{2(y+\pi)}\sin{(y+\pi)}}{\operatorname{tg}^{2}{2(y+\pi)}} = \lim_{y\to 0} \frac{2\sin{(2y+2\pi)}\sin{y}}{\operatorname{tg}^{2}{(2y+2\pi)}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{2\sin{2y}\sin{y}}{\operatorname{tg}^{2}{2y}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin{y} \sim y$, при $y \to 0$

$\sin{2y} \sim 2y$, при $y \to 0(2y \to 0)$

$\operatorname{tg}{2y} \sim 2y$, при $y \to 0(2y \to 0)$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{2\cdot 2y\cdot y}{(2y)^2} = \lim_{y\to 0} \frac{4y^2}{4y^2} = \lim_{y\to 0} 1=1$