Задача Кузнецов Пределы 13-1

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{2^{\cos^{2}{x}}-1}{\ln {\left(\sin {x}\right)}}$

Решение

Замена:

$x=y+\frac{\pi}{2} \Rightarrow y=x -\frac{\pi}{2}$

$x\to \frac{\pi}{2} \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{2^{\cos^{2}{x}}-1}{\ln {\left(\sin {x}\right)}} = \lim_{y\to 0} \frac{2^{\cos^{2}{\left(y+\frac{\pi}{2}\right)}}-1}{\ln {\left(\sin {\left(y+\frac{\pi}{2}\right)}\right)}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{2^{\sin^{2}{y}}-1}{\ln {\left(\cos {y}\right)}} = \lim_{y\to 0} \frac{\left(e^{\ln {2}}\right)^{\sin^{2}{y}}-1}{\ln {\left(1 -2\sin^2{\frac{y}{2}}\right)}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{e^{\ln {2}\cdot \sin^{2}{y}}-1}{\ln {\left(1 -2\sin^2{\frac{y}{2}}\right)}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{\ln {2}\cdot \sin^{2}{y}}-1 \sim \ln {2}\cdot \sin^{2}{y}$, при $y \to 0 (\ln {2}\cdot \sin^{2}{y} \to 0)$

$\ln {\left(1 -2\sin^2{\frac{y}{2}}\right)} \sim -2\sin^2{\frac{y}{2}}$, при $y \to 0\left(-2\sin^2{\frac{y}{2}} \to 0\right)$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{\ln {2}\cdot \sin^{2}{y}}{-2\sin^2{\frac{y}{2}}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin {y} \sim y$, при $y \to 0$

$\sin {\frac{y}{2}} \sim \frac{y}{2}$, при $y \to 0 (\frac{y}{2}\to 0)$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{\ln {2}\cdot y^2}{-2\left(\frac{y}{2}\right)^2}= \lim_{y\to 0} \frac{\ln {2}\cdot y^2}{-\frac{y^2}{2}} =$

$= \lim_{y\to 0} -2\ln {2} = -2\ln {2}$