Задача Кузнецов Пределы 13-19

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{e^{\sin{2x}}-e^{\operatorname{tg}{2x}}}{\ln {\left(\frac{2x}{\pi}\right)}}$

Решение

Замена:

$x=y+\frac{\pi}{2} \Rightarrow y=x -\frac{\pi}{2}$

$x\to \frac{\pi}{2} \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{e^{\sin{2x}}-e^{\operatorname{tg}{2x}}}{\ln {\left(\frac{2x}{\pi}\right)}} = \lim_{y\to 0} \frac{e^{\sin{2\left(y+\frac{\pi}{2}\right)}}-e^{\operatorname{tg}{2\left(y+\frac{\pi}{2}\right)}}}{\ln {\left(\frac{2}{\pi}\left(y+\frac{\pi}{2}\right)\right)}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{e^{-\sin{2y}}-e^{\operatorname{tg}{2y}}}{\ln {\left(1+ \frac{2y}{\pi}\right)}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{e^{\operatorname{tg}{2y}}\left(e^{-\sin{2y}-\operatorname{tg}{2y}}-1\right)}{\ln {\left(1+ \frac{2y}{\pi}\right)}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{-\sin{2y}-\operatorname{tg}{2y}}-1 \sim -\sin{2y}-\operatorname{tg}{2y}$, при $y \to 0 (-\sin{2y}-\operatorname{tg}{2y} \to 0)$

$\ln {\left(1+ \frac{2y}{\pi}\right)} \sim \frac{2y}{\pi}$, при $y \to 0\left(\frac{2y}{\pi}\to 0\right)$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{e^{\operatorname{tg}{2y}}\left(-\sin{2y}-\operatorname{tg}{2y}\right)}{\frac{2y}{\pi}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{-\pi e^{\operatorname{tg}{2y}}\left(\frac{\sin{2y}\cdot \cos{2y}}{\cos{2y}}+\operatorname{tg}{2y}\right)}{2y} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{-\pi e^{\operatorname{tg}{2y}}\left(\operatorname{tg}{2y}\cdot \cos{2y}+\operatorname{tg}{2y}\right)}{2y} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{-\pi\operatorname{tg}{2y}\cdot e^{\operatorname{tg}{2y}}\left(\cos{2y}+1\right)}{2y} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\operatorname{tg}{2y} \sim 2y$, при $y \to 0 (2y\to 0)$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{-\pi\cdot 2y\cdot e^{\operatorname{tg}{2y}}\left(\cos{2y}+1\right)}{2y} = \lim_{y\to 0} -\pi\cdot e^{\operatorname{tg}{2y}}\left(\cos{2y}+1\right) =$

$= -\pi\cdot e^{\operatorname{tg}{(2\cdot 0)}}\left(\cos{(2\cdot0)}+1\right) = -\pi\cdot e^{0}(1+1) = -2\pi$