Задача Кузнецов Пределы 13-2

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to \frac{1}{2}} \frac{(2x-1)^2}{e^{\sin {\pi x}}-e^{-\sin {3\pi x}}}$

Решение

Замена:

$x=y+\frac{1}{2} \Rightarrow y=x -\frac{1}{2}$

$x\to \frac{1}{2} \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$\lim_{x\to \frac{1}{2}} \frac{(2x-1)^2}{e^{\sin {\pi x}}-e^{-\sin {3\pi x}}} = \lim_{y\to 0} \frac{\left(2\left(y+\frac{1}{2}\right)-1\right)^2}{e^{\sin {\pi \left(y+\frac{1}{2}\right)}}-e^{-\sin {3\pi \left(y+\frac{1}{2}\right)}}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{(2y+1-1)^2}{e^{\sin {\left(\pi y+\frac{\pi}{2}\right)}}-e^{-\sin {\left(3\pi y+\frac{3\pi}{2}\right)}}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{4y^2}{e^{\cos {\pi y}}-e^{\cos {3\pi y}}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{4y^2}{-e^{\cos {\pi y}}\left(e^{\cos {3\pi y}-\cos {\pi y}}-1\right)} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{4y^2}{-e^{\cos {\pi y}}\left(e^{-2\sin {\frac{3\pi y+\pi y}{2}}\sin{\frac{3\pi y-\pi y}{2}}}-1\right)} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{4y^2}{-e^{\cos {\pi y}}\left(e^{-2\cdot \sin {2\pi y}\cdot \sin{\pi y}}-1\right)} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{-2\cdot \sin {2\pi y}\cdot \sin{\pi y}}-1 \sim -2\cdot \sin {2\pi y}\cdot \sin{\pi y}$, при $y \to 0(-2\cdot \sin {2\pi y}\cdot \sin{\pi y} \to 0)$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{4y^2}{-e^{\cos {\pi y}}\left(-2\cdot \sin {2\pi y}\cdot \sin{\pi y}\right)} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin{2\pi y} \sim 2\pi y$, при $y \to 0(2\pi y \to 0)$

$\sin{\pi y} \sim \pi y$, при $y \to 0(\pi y \to 0)$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{4y^2}{-e^{\cos {\pi y}}\left(-2\cdot 2\pi y\cdot \pi y\right)} =\lim_{y\to 0} \frac{1}{e^{\cos {\pi y}}(\pi \cdot \pi)} =$

$= \frac{1}{e^{\cos {(\pi \cdot 0)}}(\pi^2)} =\frac{1}{e^{1}(\pi^2)} =\frac{1}{e\cdot \pi^2}$