Задача Кузнецов Пределы 14-1

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{7^{2x}-5^{3x}}{2x-\operatorname{arctg}{3x}}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \frac{7^{2x}-5^{3x}}{2x-\operatorname{arctg}{3x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(49^{x}-1\right)-\left(125^{x}-1\right)}{2x-\operatorname{arctg}{3x}} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\left(\left(e^{\ln {49}}\right)^x-1\right)-\left(\left(e^{\ln {125}}\right)^x-1\right)}{2x-\operatorname{arctg}{3x}} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{x\ln {49}}-1\right)-\left(e^{x\ln {125}}-1\right)}{2x-\operatorname{arctg}{3x}} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {49}}-1\right)-\left(e^{x\ln {125}}-1\right)\right)}{\frac{1}{x}\left(2x-\operatorname{arctg}{3x}\right)} =$

$= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {49}}-1\right)-\left(e^{x\ln {125}}-1\right)\right)}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(2x-\operatorname{arctg}{3x}\right)} =$

$= \left(\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln {49}}-1}{x}-\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln {125}}-1}{x}\right) / \left(\lim_{x\to 0} \frac{2x}{x} - \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg}{3x}}{x} \right) =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{x\ln {49}}-1 \sim x\ln {49}$, при $x \to 0 (x\ln {49} \to 0)$

$e^{x\ln {125}}-1 \sim x\ln {125}$, при $x \to 0 (x\ln {125} \to 0)$

$\operatorname{arctg}{3x} \sim 3x$, при $x \to 0 (3x \to 0)$

Получаем:

$= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ln {49}}{x}-\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ln {125}}{x}}{\lim\limits_{x\to 0} 2 - \lim\limits_{x\to 0} \frac{3x}{x}} = \frac{\lim\limits_{x\to 0} \ln {49}-\lim\limits_{x\to 0} \ln {125}}{2 - \lim\limits_{x\to 0} 3} =$

$= \frac{\ln {49} - \ln {125}}{2 - 3} = -\ln{\frac{49}{125}}= \ln{\frac{125}{49}}$