Задача Кузнецов Пределы 14-19

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{3^{2x}-7^x}{\arcsin {3x}-5x}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \frac{3^{2x}-7^{x}}{\arcsin {3x}-5x} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(9^{x}-1\right)-\left(7^{x}-1\right)}{\arcsin {3x}-5x} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\left(\left(e^{\ln {9}}\right)^x-1\right)-\left(\left(e^{\ln {7}}\right)^x-1\right)}{\arcsin {3x}-5x} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{x\ln {9}}-1\right)-\left(e^{x\ln {7}}-1\right)}{\arcsin {3x}-5x} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {9}}-1\right)-\left(e^{x\ln {7}}-1\right)\right)}{\frac{1}{x}\left(\arcsin {3x}-5x\right)} =$

$= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {9}}-1\right)-\left(e^{x\ln {7}}-1\right)\right)}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\arcsin {3x}-5x\right)} =$

$= \left(\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln {9}}-1}{x}-\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln {7}}-1}{x}\right) / \left(\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin {3x}}{x} - \lim_{x\to 0} \frac{5x}{x} \right) =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{x\ln {9}}-1 \sim x\ln {9}$, при $x \to 0 (x\ln {9} \to 0)$

$e^{x\ln {7}}-1 \sim x\ln {7}$, при $x \to 0 (x\ln {7} \to 0)$

$\arcsin {3x} \sim 3x$, при $x \to 0(3x \to 0)$

Получаем:

$= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ln {9}}{x}-\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ln {7}}{x}}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{3x}{x} - \lim\limits_{x\to 0} 5} = \frac{\lim\limits_{x\to 0} \ln {9}-\lim\limits_{x\to 0} \ln {7}}{\lim\limits_{x\to 0} 3 - 5} =$

$= \frac{\ln {9} - \ln {7}}{3 - 5} = \frac{\ln {7} - \ln {9}}{2} = \frac{1}{2}\ln{\frac{7}{9}} = \ln{\sqrt{\frac{7}{9}}}$