Задача Кузнецов Пределы 14-2

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{e^{3x}-e^{-2x}}{2\arcsin {x}-\sin {x}}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \frac{e^{3x}-e^{-2x}}{2\arcsin {x}-\sin {x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{3x}-1\right)-\left(e^{-2x}-1\right)}{2\arcsin {x}-\sin {x}} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}\left(\left(e^{3x}-1\right)-\left(e^{-2x}-1\right)\right)}{\frac{1}{x}\left(2\arcsin {x}-\sin {x}\right)} =$

$= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\left(e^{3x}-1\right)-\left(e^{-2x}-1\right)\right)}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(2\arcsin {x}-\sin {x}\right)} =$

$= \left(\lim_{x\to 0} \frac{e^{3x}-1}{x}-\lim_{x\to 0} \frac{e^{-2x}-1}{x}\right) / \left(\lim_{x\to 0} \frac{2\arcsin{x}}{x} - \lim_{x\to 0} \frac{x}{x} \right) =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{3x}-1 \sim 3x$, при $x \to 0 (3x\to 0)$

$e^{-2x}-1 \sim -2x$, при $x \to 0 (-2x\to 0)$

$\arcsin{x} \sim x$, при $x \to 0$

$\sin{x} \sim x$, при $x \to 0$

Получаем:

$= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{3x}{x}-\lim\limits_{x\to 0} \frac{-2x}{x}}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{2x}{x} - \lim\limits_{x\to 0} \frac{x}{x}} = \frac{\lim\limits_{x\to 0} 3 -\lim\limits_{x\to 0} -2}{\lim\limits_{x\to 0} 2 - \lim\limits_{x\to 0} 1} = \frac{3 + 2}{2 - 1} = 5$