Задача Кузнецов Пределы 14-29

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^x}{x+\operatorname{tg}{x^2}}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-e^{x}}{x+\operatorname{tg}{x^2}} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{2x}-1\right)-\left(e^{x}-1\right)}{x+\operatorname{tg}{x^2}} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}\left(\left(e^{2x}-1\right)-\left(e^{x}-1\right)\right)}{\frac{1}{x}\left(x+\operatorname{tg}{x^2}\right)} =$

$= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\left(e^{2x}-1\right)-\left(e^{x}-1\right)\right)}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(x+\operatorname{tg}{x^2}\right)} =$

$= \left(\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-1}{x}-\lim_{x\to 0} \frac{e^{x}-1}{x}\right) / \left(\lim_{x\to 0} \frac{x}{x} - \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{tg}{x^2}}{x} \right) =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{2x}-1 \sim 2x$, при $x \to 0 (2x\to 0)$

$e^{x}-1 \sim x$, при $x \to 0$

$\operatorname{tg}{x^2} \sim x^2$, при $x \to 0(x^2 \to 0)$

Получаем:

$= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{2x}{x}-\lim\limits_{x\to 0} \frac{x}{x}}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{x}{x} - \lim\limits_{x\to 0} \frac{x^2}{x}} = \frac{\lim\limits_{x\to 0} 2 -\lim\limits_{x\to 0} 1}{\lim\limits_{x\to 0} 1 - \lim\limits_{x\to 0} x} = \frac{2 - 1}{1 - 0} = 1$