Задача Кузнецов Пределы 14-31

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{2^{3x}-3^{5x}}{\sin {7x}-2x}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \frac{2^{3x}-3^{5x}}{\sin {7x}-2x} = \lim_{x\to 0} \frac{\left(8^{x}-1\right)-\left(243^{x}-1\right)}{\sin {7x}-2x} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\left(\left(e^{\ln {8}}\right)^x-1\right)-\left(\left(e^{\ln {243}}\right)^{x}-1\right)}{\sin {7x}-2x} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{x\ln {8}}-1\right)-\left(e^{x\ln {243}}-1\right)}{\sin {7x}-2x} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {8}}-1\right)-\left(e^{x\ln {243}}-1\right)\right)}{\frac{1}{x}\left(\sin {7x}-2x\right)} =$

$= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\left(e^{x\ln {8}}-1\right)-\left(e^{x\ln {243}}-1\right)\right)}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\left(\sin {7x}-2x\right)} =$

$= \left(\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln {8}}-1}{x}-\lim_{x\to 0} \frac{e^{x\ln {243}}-1}{x}\right) / \left(\lim_{x\to 0} \frac{\sin {7x}}{x} - \lim_{x\to 0} \frac{2x}{x} \right) =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{x\ln {8}}-1 \sim x\ln {8}$, при $x \to 0 (x\ln {8} \to 0)$

$e^{x\ln {243}}-1 \sim x\ln {243}$, при $x \to 0 (x\ln {243} \to 0)$

$\sin {7x} \sim 7x$, при $x \to 0(x \to 0)$

Получаем:

$= \frac{\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ln {8}}{x}-\lim\limits_{x\to 0} \frac{x\ln {243}}{x}}{\lim\limits_{x\to 0} \frac{7x}{x} - \lim\limits_{x\to 0} \frac{2x}{x}} = \frac{\lim\limits_{x\to 0} \ln {8}-\lim\limits_{x\to 0} -\ln {243}}{\lim\limits_{x\to 0} 7 - \lim\limits_{x\to 0} 2} =$

$= \frac{\ln {8} - \ln {243}}{7 - 2} = \frac{1}{5}\ln{\frac{8}{243}}= \frac{1}{5}\ln{\frac{2^3}{3^5}}$