Задача Кузнецов Пределы 15-1

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x+e^{-x}-2}{\sin^{2}{x}}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x+e^{-x}-2}{\sin^{2}{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{e^{-x}\left(e^{2x}-2e^{x}+1\right)}{\sin^{2}{x}} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{e^{-x}\left(e^{x}-1\right)^2}{\sin^{2}{x}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{x}-1 \sim x$, при $x \to 0$

$\sin{x} \sim x$, при $x \to 0$

Получаем:

$= \lim_{x\to 0} \frac{e^{-x}\cdot x^2}{x^2} = \lim_{x\to 0} e^{-x} = e^{0}=1$