Задача Кузнецов Пределы 15-19

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{h\to 0} \frac{\sin {(x+h)}-\sin {(x-h)}}{h}$

Решение

$\lim_{h\to 0} \frac{\sin {(x+h)}-\sin {(x-h)}}{h} =$

$= \lim_{h\to 0} \frac{2\sin {\frac{(x+h)-(x-h)}{2}}\cos{\frac{(x+h)+(x-h)}{2}}}{h} =$

$= \lim_{h\to 0} \frac{2\sin {\frac{2h}{2}}\cos{\frac{2x}{2}}}{h} =$

$= \lim_{h\to 0} \frac{2\sin {h}\cos{x}}{h} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin {h} \sim h$, при $h \to 0$

Получаем:

$= \lim_{h\to 0} \frac{2h\cos{x}}{h} = \lim_{h\to 0} 2\cos{x} = 2\cos{x}$