Задача Кузнецов Пределы 15-2

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \frac{1+x\sin{x}-\cos{2x}}{\sin^{2}{x}}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \frac{1+x\sin{x}-\cos{2x}}{\sin^{2}{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{1+x\sin{x}-\left(1-2\sin^{2}{x}\right)}{\sin^{2}{x}} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{x\sin{x}+2\sin^{2}{x}}{\sin^{2}{x}}= \lim_{x\to 0} \frac{x\sin{x}}{\sin^{2}{x}} + \lim_{x\to 0} \frac{2\sin^{2}{x}}{\sin^{2}{x}} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin{x}} + \lim_{x\to 0} 2 =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin{x} \sim x$, при $x \to 0$

Получаем:

$= \lim_{x\to 0} \frac{x}{x} + 2 = \lim_{x\to 0} 1 + 2 = 3$