Задача Кузнецов Пределы 15-29

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin^{3}{x}}{\cos^{2}{x}}$

Решение

Замена:

$x=y+\frac{\pi}{2} \Rightarrow y=x-\frac{\pi}{2}$

$x\to \frac{\pi}{2} \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin^{3}{x}}{\cos^{2}{x}} = \lim_{y\to 0} \frac{1-\sin^{3}{\left(y+\frac{\pi}{2}\right)}}{\cos^{2}{\left(y+\frac{\pi}{2}\right)}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{1-\cos^{3}{y}}{\left(-\sin{y}\right)^2} =\lim_{y\to 0} \frac{\left(1-\cos{y}\right)\left(1+\cos{y}+\cos^{2}{y}\right)}{\sin^{2}{y}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$1-\cos{y} \sim \frac{y^2}{2}$, при $y \to 0$

$\sin {y} \sim y$, при $y \to 0$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{\frac{y^2}{2}\left(1+\cos{y}+\cos^{2}{y}\right)}{y^2} = \lim_{y\to 0} \frac{1+\cos{y}+\cos^{2}{y}}{2} =$

$= \frac{1+\cos{0}+\cos^{2}{0}}{2} =\frac{1+1+1^2}{2} = \frac{3}{2}$