Задача Кузнецов Пределы 15-3

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to -1} \frac{x^3+1}{\sin{(x+1)}}$

Решение

Замена:

$x=y-1 \Rightarrow y=x+1$

$x\to -1 \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$\lim_{x\to -1} \frac{x^3+1}{\sin{(x+1)}} = \lim_{y\to 0} \frac{(y-1)^3+1}{\sin{((y-1)+1)}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{y^3-3y^2+3y-1+1}{\sin{y}}= \lim_{y\to 0} \frac{y^3-3y^2+3y}{\sin{y}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin {y} \sim y$, при $y \to 0$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{y^3-3y^2+3y}{y}= \lim_{y\to 0} y^2-3y+3 = 0^2-3\cdot 0+3 =3$