Задача Кузнецов Пределы 15-31

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 1} \frac{e^x-e}{\sin {\left(x^2-1\right)}}$

Решение

Замена:

$x=y+1 \Rightarrow y=x-1$

$x\to 1 \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$\lim_{x\to 1} \frac{e^x-e}{\sin {\left(x^2-1\right)}} = \lim_{y\to 0} \frac{e^{y+1}-e}{\sin {\left((y+1)^2-1\right)}} =$

$= \lim_{y\to 0} \frac{e\left(e^{y}-1\right)}{\sin {\left(y^2+2y+1-1\right)}} = \lim_{y\to 0} \frac{e\left(e^{y}-1\right)}{\sin {\left(y^2+2y\right)}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{y}-1 \sim y$, при $y \to 0$

$\sin {\left(y^2+2y\right)}\sim y^2+2y$, при $y \to 0\left(y^2+2y \to 0\right)$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{e\cdot y}{y^2+2y} = \lim_{y\to 0} \frac{e}{y+2} = \frac{e}{0+2} = \frac{e}{2}$