Задача Кузнецов Пределы 16-1

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \left(1-\ln {\left(1+x^3 \right)} \right)^{\frac{3}{x^2\arcsin {x}}}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \left(1-\ln {\left(1+x^3 \right)} \right)^{\frac{3}{x^2\arcsin {x}}} =$

$= \lim_{x\to 0} \left(e^{\ln{\left(1-\ln {\left(1+x^3 \right)}\right)}} \right)^{\frac{3}{x^2\arcsin {x}}} =$

$= \lim_{x\to 0} e^{3\cdot \ln{\left(1-\ln {\left(1+x^3 \right)}\right)} / \left(x^2\arcsin {x}\right)} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{3 \cdot \ln{\left(1-\ln {\left(1+x^3 \right)}\right)}} {x^2\arcsin {x}} \right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln{\left(1-\ln {\left(1+x^3 \right)}\right)} \sim -\ln {\left(1+x^3 \right)}$, при $x \to 0\left(-\ln {\left(1+x^3 \right)}\to 0\right)$

$\arcsin {x} \sim x$, при $x \to 0$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{-3 \cdot \ln {\left(1+x^3 \right)}} {x^2\cdot x} \right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln {\left(1+x^3 \right)} \sim x^3$, при $x \to 0\left(x^3\to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{-3 \cdot x^3} {x^3} \right\}} =\exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{-3} {1} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \frac{-3} {1} \right\}} = \exp{\left\{ -3 \right\}} = e^{-3}$