Задача Кузнецов Пределы 16-19

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \left(2-3^{\sin^{2}{x}} \right)^{\frac{1}{\ln {(\cos {x})}}}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \left(2-3^{\sin^{2}{x}} \right)^{\frac{1}{\ln {(\cos {x})}}} =$

$= \lim_{x\to 0} \left(e^{\ln {\left(2-3^{\sin^{2}{x}} \right)}}\right)^{\frac{1}{\ln {(\cos {x})}}} =$

$= \lim_{x\to 0} e^{\ln {\left(2-3^{\sin^{2}{x}}\right)} / \ln {(\cos {x})}} =$

$= \lim_{x\to 0} e^{\ln {\left(1+\left(1-3^{\sin^{2}{x}}\right)\right)} / \ln {\left(1-2\sin^{2} {\frac{x}{2}}\right)}} =$

$= \exp{\left\{\lim_{x\to 0} \frac{\ln {\left(1+\left(1-3^{\sin^{2}{x}}\right)\right)}}{\ln {\left(1-2\sin^{2} {\frac{x}{2}}\right)}}\right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln {\left(1+\left(1-3^{\sin^{2}{x}}\right)\right)} \sim \left(1-3^{\sin^{2}{x}}\right)$, при $x \to 0\left(\left(1-3^{\sin^{2}{x}}\right) \to 0\right)$

$\ln {\left(1-2\sin^{2} {\frac{x}{2}}\right)} \sim -2\sin^{2} {\frac{x}{2}}$, при $x \to 0\left(-2\sin^{2} {\frac{x}{2}} \to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{\lim_{x\to 0} \frac{1-3^{\sin^{2}{x}}}{-2\sin^{2}{\frac{x}{2}}}\right\}} = \exp{\left\{\lim_{x\to 0} \frac{1-\left(e^{\ln{3}}\right)^{\sin^{2}{x}}}{-2\sin^{2}{\frac{x}{2}}}\right\}} =$

$= \exp{\left\{\lim_{x\to 0} \frac{e^{\ln{3}\cdot \sin^{2}{x}}-1}{2\sin^{2}{\frac{x}{2}}}\right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{\ln{3}\cdot \sin^{2}{x}}-1 \sim \ln{3}\cdot \sin^{2}{x}$, при $x \to 0 (\ln{3}\cdot \sin^{2}{x}\to 0)$

$\sin{\frac{x}{2}} \sim \frac{x}{2}$, при $x \to 0 (\frac{x}{2}\to 0)$

Получаем:

$= \exp{\left\{\lim_{x\to 0} \frac{\ln{3}\cdot \sin^{2}{x}}{2\left(\frac{x}{2}\right)^2}\right\}} =\exp{\left\{\lim_{x\to 0} \frac{2\ln{3}\cdot \sin^{2}{x}}{x^2}\right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin{x} \sim x$, при $x \to 0$

Получаем:

$=\exp{\left\{\lim_{x\to 0} \frac{2\ln{3}\cdot x^2}{x^2}\right\}} =\exp{\left\{\lim_{x\to 0} 2\ln{3}\right\}} =$

$=e^{2\ln{3}}=\left(e^{\ln{3}}\right)^2=3^2=9$