Задача Кузнецов Пределы 16-2

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \left(\cos {\sqrt {x}} \right)^{\frac{1}{x}}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \left(\cos {\sqrt {x}} \right)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to 0} \left(e^{\ln{\left(\cos {\sqrt {x}}\right)}} \right)^{\frac{1}{x}} =$

$= \lim_{x\to 0} e^{\frac{\ln{\left(\cos {\sqrt {x}}\right)}}{x}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{\ln{\left(1-2\sin^{2}{\frac{\sqrt {x}}{2}}\right)}}{x} \right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln{\left(1-2\sin^{2}{\frac{\sqrt {x}}{2}}\right)} \sim -2\sin^{2}{\frac{\sqrt {x}}{2}}$, при $x \to 0\left(-2\sin^{2}{\frac{\sqrt {x}}{2}}\to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{-2\sin^{2}{\frac{\sqrt {x}}{2}}}{x} \right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin{\frac{\sqrt {x}}{2}} \sim \frac{\sqrt {x}}{2}$, при $x \to 0\left(\frac{\sqrt {x}}{2}\to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{-2\left(\frac{\sqrt {x}}{2}\right)^2}{x} \right\}} = \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{-2\cdot \frac{x}{4}}{x} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{-1}{2} \right\}} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$