Задача Кузнецов Пределы 16-29

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \left(1-\ln {(\cos{x})} \right)^{\frac{1}{\operatorname{tg}^{2}{x}}}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \left(1-\ln {(\cos{x})} \right)^{\frac{1}{\operatorname{tg}^{2}{x}}} =$

$= \lim_{x\to 0} \left(e^{\ln{\left(1-\ln {(\cos{x})}\right)}} \right)^{\frac{1}{\operatorname{tg}^{2}{x}}} =$

$= \lim_{x\to 0} e^{\ln{\left(1-\ln {(\cos{x})}\right)} / \operatorname{tg}^{2}{x}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{\ln{\left(1-\ln {(\cos{x})}\right)}} {\operatorname{tg}^{2}{x}} \right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln{\left(1-\ln {(\cos{x})}\right)} \sim -\ln {(\cos{x})}$, при $x \to 0\left(-\ln {(\cos{x})}\to 0\right)$

$\operatorname{tg}{x} \sim x$, при $x \to 0$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{-\ln {(\cos{x})}} {x^2} \right\}} = \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{-\ln {(1 -2\sin^{2}{\frac{x}{2}})}} {x^2} \right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln {(1 -2\sin^{2}{\frac{x}{2}})} \sim -2\sin^{2}{\frac{x}{2}}$, при $x \to 0\left(-2\sin^{2}{\frac{x}{2}}\to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{2\sin^{2}{\frac{x}{2}}} {x^2} \right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin{\frac{x}{2}} \sim \frac{x}{2}$, при $x \to 0\left(\frac{x}{2}\to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{2\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2} {x^2} \right\}} = \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{\left(\frac{1}{2}\right)} {1} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \frac{1}{2} \right\}} = e^{\frac{1}{2}}$