Задача Кузнецов Пределы 16-3

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{1+x\cdot 2^x}{1+x\cdot 3^x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{1+x\cdot 2^x}{1+x\cdot 3^x}\right)^{\frac{1}{x^2}} =$

$= \lim_{x\to 0} \left(e^{\ln{\left(\left(1+x\cdot 2^x\right) / \left(1+x\cdot 3^x\right)\right)}}\right)^{\frac{1}{x^2}} =$

$= \lim_{x\to 0} e^{\frac{1}{x^2}\ln{\left(\left(1+x\cdot 2^x\right) / \left(1+x\cdot 3^x\right)\right)}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\ln{\left(\left(1+x\cdot 2^x\right) / \left(1+x\cdot 3^x\right)\right)} \right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\ln{\left(\frac{1+x\cdot 2^x}{1+x\cdot 3^x}\right)} \right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\ln{\left(\frac{1+x\cdot 3^x-x\cdot 3^x+x\cdot 2^x}{1+x\cdot 3^x}\right)} \right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\ln{\left(1-\frac{x\cdot 3^x-x\cdot 2^x}{1+x\cdot 3^x}\right)} \right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\ln{\left(1-x\cdot \frac{3^x-2^x}{1+x\cdot 3^x}\right)} \right\}}=$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln {\left(1-x\cdot \frac{3^x-2^x}{1+x\cdot 3^x}\right)} \sim -x\cdot \frac{3^x-2^x}{1+x\cdot 3^x}$, при $x \to 0\left(-x\cdot \frac{3^x-2^x}{1+x\cdot 3^x}\to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\left(-x\cdot \frac{3^x-2^x}{1+x\cdot 3^x}\right) \right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} -\frac{3^x-2^x}{x\cdot \left(1+x\cdot 3^x\right)} \right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} -\frac{\left(3^x-1\right)-\left(2^x-1\right)}{x\cdot \left(1+x\cdot 3^x\right)} \right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} -\frac{3^x-1}{x\cdot \left(1+x\cdot 3^x\right)} + \lim_{x\to 0} \frac{2^x-1}{x\cdot \left(1+x\cdot 3^x\right)}\right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} -\frac{\left(e^{\ln{3}}\right)^x-1}{x\cdot \left(1+x\cdot 3^x\right)} + \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{\ln{2}}\right)^x-1}{x\cdot \left(1+x\cdot 3^x\right)}\right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} -\frac{e^{x\cdot \ln{3}}-1}{x\cdot \left(1+x\cdot 3^x\right)} + \lim_{x\to 0} \frac{e^{x\cdot \ln{2}}-1}{x\cdot \left(1+x\cdot 3^x\right)}\right\}}=$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{x\cdot \ln{3}}-1 \sim x\cdot \ln{3}$, при $x \to 0\left(x\cdot \ln{3}\to 0\right)$

$e^{x\cdot \ln{2}}-1 \sim x\cdot \ln{2}$, при $x \to 0\left(x\cdot \ln{2}\to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} -\frac{x\cdot \ln{3}}{x\cdot \left(1+x\cdot 3^x\right)} + \lim_{x\to 0} \frac{x\cdot \ln{2}}{x\cdot \left(1+x\cdot 3^x\right)}\right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} -\frac{\ln{3}}{1+x\cdot 3^x} + \lim_{x\to 0} \frac{\ln{2}}{1+x\cdot 3^x}\right\}}=$

$= \exp{\left\{ -\frac{\ln{3}}{1+0\cdot 3^0} + \frac{\ln{2}}{1+0\cdot 3^0}\right\}}=$

$= \exp{\left\{ -\ln{3} + \ln{2} \right\}}=\exp{\left\{ \ln{\frac{2}{3}} \right\}}= e^{\ln{\frac{2}{3}}}=\frac{2}{3}$