Задача Кузнецов Пределы 16-31

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{1+x^2\cdot 2^x}{1+x^2\cdot 5^x} \right)^{\frac{1}{\sin^{3}{x}}}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{1+x^2\cdot 2^x}{1+x^2\cdot 5^x}\right)^{\frac{1}{\sin^{3}{x}}} =$

$= \lim_{x\to 0} \left(e^{\ln{\left(\left(1+x^2\cdot 2^x\right) / \left(1+x^2\cdot 5^x\right)\right)}}\right)^{\frac{1}{\sin^{3}{x}}} =$

$= \lim_{x\to 0} e^{\frac{1}{\sin^{3}{x}}\ln{\left(\left(1+x^2\cdot 2^x\right) / \left(1+x^2\cdot 5^x\right)\right)}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{1}{\sin^{3}{x}}\ln{\left(\left(1+x^2\cdot 2^x\right) / \left(1+x^2\cdot 5^x\right)\right)} \right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{1}{\sin^{3}{x}}\ln{\left(\frac{1+x^2\cdot 2^x}{1+x^2\cdot 5^x}\right)} \right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{1}{\sin^{3}{x}}\ln{\left(\frac{1+x^2\cdot 5^x-x^2\cdot 5^x+x^2\cdot 2^x}{1+x^2\cdot 5^x}\right)} \right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{1}{\sin^{3}{x}}\ln{\left(1-\frac{x^2\cdot 5^x-x^2\cdot 2^x}{1+x^2\cdot 5^x}\right)} \right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{1}{\sin^{3}{x}}\ln{\left(1-x^2\cdot \frac{5^x-2^x}{1+x^2\cdot 5^x}\right)} \right\}}=$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln {\left(1-x^2\cdot \frac{5^x-2^x}{1+x\cdot 5^x}\right)} \sim -x^2\cdot \frac{5^x-2^x}{1+x\cdot 5^x}$, при $x \to 0\left(-x^2\cdot \frac{5^x-2^x}{1+x\cdot 5^x}\to 0\right)$

$\sin{x} \sim x$, при $x \to 0$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^3}\left(-x^2\cdot \frac{5^x-2^x}{1+x^2\cdot 5^x}\right) \right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} -\frac{5^x-2^x}{x\cdot \left(1+x\cdot 5^x\right)} \right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} -\frac{\left(5^x-1\right)-\left(2^x-1\right)}{x\cdot \left(1+x\cdot 5^x\right)} \right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} -\frac{5^x-1}{x\cdot \left(1+x\cdot 5^x\right)} + \lim_{x\to 0} \frac{2^x-1}{x\cdot \left(1+x\cdot 5^x\right)}\right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} -\frac{\left(e^{\ln{5}}\right)^x-1}{x\cdot \left(1+x\cdot 5^x\right)} + \lim_{x\to 0} \frac{\left(e^{\ln{2}}\right)^x-1}{x\cdot \left(1+x\cdot 5^x\right)}\right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} -\frac{e^{x\cdot \ln{5}}-1}{x\cdot \left(1+x\cdot 5^x\right)} + \lim_{x\to 0} \frac{e^{x\cdot \ln{2}}-1}{x\cdot \left(1+x\cdot 5^x\right)}\right\}}=$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{x\cdot \ln{5}}-1 \sim x\cdot \ln{5}$, при $x \to 0\left(x\cdot \ln{5}\to 0\right)$

$e^{x\cdot \ln{2}}-1 \sim x\cdot \ln{2}$, при $x \to 0\left(x\cdot \ln{2}\to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} -\frac{x\cdot \ln{5}}{x\cdot \left(1+x\cdot 5^x\right)} + \lim_{x\to 0} \frac{x\cdot \ln{2}}{x\cdot \left(1+x\cdot 5^x\right)}\right\}}=$

$= \exp{\left\{ \lim_{x\to 0} -\frac{\ln{5}}{1+x\cdot 5^x} + \lim_{x\to 0} \frac{\ln{2}}{1+x\cdot 5^x}\right\}}=$

$= \exp{\left\{ -\frac{\ln{5}}{1+0\cdot 5^0} + \frac{\ln{2}}{1+0\cdot 5^0}\right\}}=$

$= \exp{\left\{ -\ln{5} + \ln{2} \right\}}=\exp{\left\{ \ln{\frac{2}{5}} \right\}}= e^{\ln{\frac{2}{5}}}=\frac{2}{5}$