Задача Кузнецов Пределы 17-1

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin {2x}}{x}\right)^{1+x}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin {2x}}{x}\right)^{1+x} = \left(\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin {2x}}{x}\right)\right)^{\lim\limits_{x\to 0} 1+x} =$

$= \left(\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin {2x}}{x}\right)\right)^{1} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin {2x}}{x} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin {2x} \sim 2x$, при $x \to 0(2x \to 0)$

Получаем:

$= \lim_{x\to 0} \frac{2x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{2}{1} = 2$