Задача Кузнецов Пределы 17-3

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin {4x}}{x}\right)^{\frac{2}{x+2}}$

Решение

$\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin {4x}}{x}\right)^{\frac{2}{x+2}} = \left(\lim_{x\to 0} \frac{\sin {4x}}{x}\right)^{\lim\limits_{x\to 0} \frac{2}{x+2}} =$

$= \left(\lim_{x\to 0} \frac{\sin {4x}}{x}\right)^{\frac{2}{0+2}} =\left(\lim_{x\to 0} \frac{\sin {4x}}{x}\right)^{1} =$

$= \lim_{x\to 0} \frac{\sin {4x}}{x} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin {4x} \sim 4x$, при $x \to 0(4x \to 0)$

Получаем:

$= \lim_{x\to 0} \frac{4x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{4}{1} = 4$