Задача Кузнецов Пределы 18-1

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 1} \left(\frac{3x-1}{x+1}\right)^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}}$

Решение

$\lim_{x\to 1} \left(\frac{3x-1}{x+1}\right)^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}} = \lim_{x\to 1} \left(e^{\ln{\left(\frac{3x-1}{x+1}\right)}}\right)^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}} =$

$= \lim_{x\to 1} e^{\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}\cdot \ln{\left(\frac{3x-1}{x+1}\right)}} = \exp{\left\{\lim_{x\to 1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}\cdot \ln{\left(\frac{3x-1}{x+1}\right)} \right\}} =$

Замена:

$x=y+1 \Rightarrow y=x -1$

$x\to 1 \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$= \exp{\left\{\lim_{y\to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{y+1}-1}\cdot \ln{\left(\frac{3(y+1)-1}{(y+1)+1}\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{\lim_{y\to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{y+1}-1}\cdot \ln{\left(\frac{3y+2}{y+2}\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{\lim_{y\to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{y+1}-1}\cdot \ln{\left(1+\frac{2y}{y+2}\right)} \right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln {\left(1+\frac{2y}{y+2}\right)} \sim \frac{2y}{y+2}$, при $y \to 0\left(\frac{2y}{y+2}\to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{\lim_{y\to 0} \frac{2y}{\left(\sqrt[3]{y+1}-1\right)\left(y+2\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{\lim_{y\to 0} \frac{2y\left(\sqrt[3]{(y+1)^2}+\sqrt[3]{y+1}+1\right)}{\left(\sqrt[3]{y+1}-1\right)\left(\sqrt[3]{(y+1)^2}+\sqrt[3]{y+1}+1\right)\left(y+2\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{\lim_{y\to 0} \frac{2y\left(\sqrt[3]{(y+1)^2}+\sqrt[3]{y+1}+1\right)}{\left(y+1-1\right)\left(y+2\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{\lim_{y\to 0} \frac{2y\left(\sqrt[3]{(y+1)^2}+\sqrt[3]{y+1}+1\right)}{y\left(y+2\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{\lim_{y\to 0} \frac{2\left(\sqrt[3]{(y+1)^2}+\sqrt[3]{y+1}+1\right)}{y+2} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \frac{2\left(\sqrt[3]{(0+1)^2}+\sqrt[3]{0+1}+1\right)}{0+2} \right\}} =\exp{\left\{ \frac{2\left(1+1+1\right)}{2} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ 3 \right\}} = e^3$