Задача Кузнецов Пределы 18-19

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 1} \left(2e^{x-1}-1\right)^{\frac{3x-1}{x-1}}$

Решение

$\lim_{x\to 1} \left(2e^{x-1}-1\right)^{\frac{3x-1}{x-1}} = \lim_{x\to 1} \left(e^{\ln{\left(2e^{x-1}-1\right)}}\right)^{\frac{3x-1}{x-1}} =$

$= \lim_{x\to 1} e^{\frac{3x-1}{x-1}\cdot \ln{\left(2e^{x-1}-1\right)}} = \exp{\left\{ \lim_{x\to 1} \frac{3x-1}{x-1}\cdot \ln{\left(2e^{x-1}-1\right)} \right\}} =$

Замена:

$x=y+1 \Rightarrow y=x-1$

$x\to 1 \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{3(y+1)-1}{(y+1)-1}\cdot \ln{\left(2e^{(y+1)-1}-1\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{3y+2}{y}\cdot \ln{\left(2e^{y}-1\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{3y+2}{y}\cdot \ln{\left(1 +2\left(e^{y}-1\right)\right)} \right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln{\left(1 +2\left(e^{y}-1\right)\right)} \sim 2\left(e^{y}-1\right)$, при $y \to 0\left(2\left(e^{y}-1\right)\to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{3y+2}{y}\cdot 2\left(e^{y}-1\right) \right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{y}-1 \sim y$, при $y \to 0$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{3y+2}{y}\cdot 2y \right\}} =\exp{\left\{ \lim_{y\to 0} 2(3y+2) \right\}} =$

$= \exp{\left\{ 2(3\cdot 0+2) \right\}} = \exp{\left\{ 4 \right\}} = e^4$