Задача Кузнецов Пределы 18-2

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to a} \left(\frac{\sin {x}}{\sin {a}} \right)^{\frac{1}{x-a}}$

Решение

$\lim_{x\to a} \left(\frac{\sin{x}}{\sin {a}} \right)^{\frac{1}{x-a}} = \lim_{x\to a} \left(e^{\ln{\left(\frac{\sin{x}}{\sin {a}}\right)}} \right)^{\frac{1}{x-a}} =$

$= \lim_{x\to a} e^{\frac{1}{x-a}\cdot \ln{\left(\frac{\sin{x}}{\sin {a}}\right)}} = \exp{\left\{ \lim_{x\to a} \frac{1}{x-a}\cdot \ln{\left(\frac{\sin{x}}{\sin {a}}\right)} \right\}} =$

Замена:

$x=y+a \Rightarrow y=x -a$

$x\to a \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{1}{(y+a)-a}\cdot \ln{\left(\frac{\sin{(y+a)}}{\sin {a}}\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{1}{y}\cdot \ln{\left(\frac{\sin{y}\cdot \cos{a}+\cos{y}\cdot \sin{a}}{\sin {a}}\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{1}{y}\cdot \ln{\left(\sin{y}\cdot \operatorname{ctg}{a}+\cos{y}\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{1}{y}\cdot \ln{\left(2\sin{\frac{y}{2}}\cdot \cos{\frac{y}{2}} \cdot \operatorname{ctg}{a}+1-2\sin^{2}{\frac{y}{2}}\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{1}{y}\cdot \ln{\left(1+2\sin{\frac{y}{2}}\left(\cos{\frac{y}{2}} \cdot \operatorname{ctg}{a}-\sin{\frac{y}{2}}\right)\right)} \right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln{\left(1+2\sin{\frac{y}{2}}\left(\cos{\frac{y}{2}} \cdot \operatorname{ctg}{a}-\sin{\frac{y}{2}}\right)\right)} \sim 2\sin{\frac{y}{2}}\left(\cos{\frac{y}{2}} \cdot \operatorname{ctg}{a}-\sin{\frac{y}{2}}\right)$, при $y \to 0\left(2\sin{\frac{y}{2}}\left(\cos{\frac{y}{2}} \cdot \operatorname{ctg}{a}-\sin{\frac{y}{2}}\right)\to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{1}{y}\cdot 2\sin{\frac{y}{2}}\left(\cos{\frac{y}{2}} \cdot \operatorname{ctg}{a}-\sin{\frac{y}{2}}\right) \right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin{\frac{y}{2}} \sim \frac{y}{2}$, при $y \to 0\left(\frac{y}{2}\to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{1}{y}\cdot 2\cdot \frac{y}{2} \cdot \left(\cos{\frac{y}{2}} \cdot \operatorname{ctg}{a}-\sin{\frac{y}{2}}\right) \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \left(\cos{\frac{y}{2}} \cdot \operatorname{ctg}{a}-\sin{\frac{y}{2}}\right) \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \cos{\frac{0}{2}} \cdot \operatorname{ctg}{a}-\sin{\frac{0}{2}} \right\}} = \exp{\left\{1 \cdot \operatorname{ctg}{a}-0 \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \operatorname{ctg}{a}\right\}} = e^{\operatorname{ctg}{a}}$