Задача Кузнецов Пределы 18-29

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 1} \left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{\ln {(x+1)}}{\ln {(2-x)}}}$

Решение

$\lim_{x\to 1} \left(\frac{1}{x} \right)^{\frac{\ln {(x+1)}}{\ln {(2-x)}}} = \lim_{x\to 1} \left(e^{\ln{\left(\frac{1}{x}\right)}} \right)^{\frac{\ln {(x+1)}}{\ln {(2-x)}}} =$

$= \lim_{x\to 1} e^{\frac{\ln {(x+1)}}{\ln {(2-x)}}\cdot \ln{\left(\frac{1}{x}\right)}} = \exp{\left\{ \lim_{x\to 1} \frac{\ln {(x+1)}}{\ln {(2-x)}}\cdot \ln{\left(\frac{1}{x}\right)} \right\}} =$

Замена:

$x=y+1 \Rightarrow y=x -1$

$x\to 1 \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{\ln {((y+1)+1)}}{\ln {(2-(y+1))}}\cdot \ln{\left(\frac{1}{y+1}\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{\ln {(y+2)}}{\ln {(1-y)}}\cdot \ln{\left(\frac{1+y-y}{y+1}\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{\ln {(y+2)}}{\ln {(1-y)}}\cdot \ln{\left(1-\frac{y}{y+1}\right)} \right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln{\left(1-\frac{y}{y+1}\right)} \sim -\frac{y}{y+1}$, при $y \to 0\left(-\frac{y}{y+1}\to 0\right)$

$\ln {(1-y)} \sim -y$, при $y \to 0\left(-y\to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{\ln {(y+2)}}{-y}\cdot \left(-\frac{y}{y+1}\right) \right\}} = \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{\ln {(y+2)}}{y+1} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \frac{\ln {(0+2)}}{0+1} \right\}} =\exp{\left\{ \frac{\ln {2}}{1} \right\}} = \exp{\left\{ \ln {2} \right\}} = e^{\ln{2}} = 2$