Задача Кузнецов Пределы 18-31

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 1} \left(\frac{2x-1}{x}\right)^{\frac{\ln {(3+2x)}}{\ln {(2-x)}}}$

Решение

$\lim_{x\to 1} \left(\frac{2x-1}{x} \right)^{\frac{\ln {(3+2x)}}{\ln {(2-x)}}} = \lim_{x\to 1} \left(e^{\ln{\left(\frac{2x-1}{x}\right)}} \right)^{\frac{\ln {(3+2x)}}{\ln {(2-x)}}} =$

$= \lim_{x\to 1} e^{\frac{\ln {(3+2x)}}{\ln {(2-x)}}\cdot \ln{\left(\frac{2x-1}{x}\right)}} = \exp{\left\{ \lim_{x\to 1} \frac{\ln {(3+2x)}}{\ln {(2-x)}}\cdot \ln{\left(\frac{2x-1}{x}\right)} \right\}} =$

Замена:

$x=y+1 \Rightarrow y=x -1$

$x\to 1 \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{\ln {(3+2(y+1))}}{\ln {(2-(y+1))}}\cdot \ln{\left(\frac{2(y+1)-1}{y+1}\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{\ln {(5+2y)}}{\ln {(1-y)}}\cdot \ln{\left(\frac{2y+1}{y+1}\right)} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{\ln {(5+2y)}}{\ln {(1-y)}}\cdot \ln{\left(1+\frac{y}{y+1}\right)} \right\}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln{\left(1+\frac{y}{y+1}\right)} \sim \frac{y}{y+1}$, при $y \to 0\left(\frac{y}{y+1}\to 0\right)$

$\ln {(1-y)} \sim -y$, при $y \to 0\left(-y\to 0\right)$

Получаем:

$= \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} \frac{\ln {(5+2y)}}{-y}\cdot \left(\frac{y}{y+1}\right) \right\}} = \exp{\left\{ \lim_{y\to 0} -\frac{\ln {(5+2y)}}{y+1} \right\}} =$

$= \exp{\left\{ -\frac{\ln {(5+2\cdot 0)}}{0+1} \right\}} =\exp{\left\{ -\ln {5} \right\}} = \exp{\left\{ \ln {\frac{1}{5}} \right\}} = e^{\ln{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{5}$