Задача Кузнецов Пределы 19-1

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to e} \left(\frac{\ln {x}-1}{x-e} \right)^{\sin {\left(\frac{\pi}{2e}x\right)}}$

Решение

$\lim_{x\to e} \left(\frac{\ln {x}-1}{x-e} \right)^{\sin {\left(\frac{\pi}{2e}x\right)}} =\lim_{x\to e} \left(\frac{\ln {x}-\ln{e}}{x-e} \right)^{\sin {\left(\frac{\pi}{2e}x\right)}} =$

$= \left(\lim_{x\to e} \frac{\ln {\frac{x}{e}}}{x-e} \right)^{\lim\limits_{x\to e} \sin {\left(\frac{\pi}{2e}x\right)}} = \left(\lim_{x\to e} \frac{\ln {\frac{x}{e}}}{x-e} \right)^{\sin {\left(\frac{\pi}{2e}\cdot e\right)}} =$

$= \left(\lim_{x\to e} \frac{\ln {\frac{x}{e}}}{x-e} \right)^{\sin {\left(\frac{\pi}{2}\right)}} = \left(\lim_{x\to e} \frac{\ln {\frac{x}{e}}}{x-e} \right)^{1} =$

$= \lim_{x\to e} \frac{\ln {\frac{x}{e}}}{x-e} =$

Замена:

$x=y+e \Rightarrow y=x-e$

$x\to e \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$= \lim_{y\to 0} \frac{\ln {\frac{y+e}{e}}}{(y+e)-e} = \lim_{y\to 0} \frac{\ln {\left(1+\frac{y}{e}\right)}}{y} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\ln {\left(1+\frac{y}{e}\right)} \sim \frac{y}{e}$, при $y \to 0\left(\frac{y}{e}\to 0\right)$

Получаем:

$=\lim_{y\to 0} \frac{\left(\frac{y}{e}\right)}{y} = \lim_{y\to 0} \frac{1}{e} = \frac{1}{e}$