Задача Кузнецов Пределы 19-31

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 1} \left(\frac{e^{2x}-e^2}{x-1} \right)^{x+1}$

Решение

$\lim_{x\to 1} \left(\frac{e^{2x}-e^2}{x-1} \right)^{x+1} = \left(\lim_{x\to 1} \frac{e^{2x}-e^2}{x-1} \right)^{\lim\limits_{x\to 1} x+1} =$

$= \left(\lim_{x\to 1} \frac{e^{2x}-e^2}{x-1} \right)^{1+1} = \left(\lim_{x\to 1} \frac{e^2\left(e^{2x-2}-1\right)}{x-1} \right)^{2} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$e^{2x-2}-1 \sim 2x-2$, при $x \to 1\left(2x-2\to 0\right)$

Получаем:

$= \left(\lim_{x\to 1} \frac{e^2\left(2x-2\right)}{x-1} \right)^{2} = \left(\lim_{x\to 1} 2e^2 \right)^{2} = \left( 2e^2 \right)^{2} = 4e^4$