Задача Кузнецов Пределы 19-9

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 1} \left(1+e^x\right)^{\frac{\sin {\pi x}}{1-x}}$

Решение

$\lim_{x\to 1} \left(1+e^x\right)^{\frac{\sin {\pi x}}{1-x}} = \left(\lim_{x\to 1}(1+e^x)\right)^{\lim\limits_{x\to 1} \frac{\sin {\pi x}}{1-x}} =$

$= \left(1+e^1\right)^{\lim\limits_{x\to 1} \frac{\sin {\pi x}}{1-x}} =$

Замена:

$x=y+1 \Rightarrow y=x -1$

$x\to 1 \Rightarrow y \to 0$

Получаем:

$= \left(1+e\right)^{\lim\limits_{y\to 0} \frac{\sin {\pi(y+1)}}{1-(y+1)}} =\left(1+e\right)^{\lim\limits_{y\to 0} \frac{\sin {(\pi y+\pi )}}{-y}} =$

$= \left(1+e\right)^{\lim\limits_{y\to 0} \frac{ - \sin {\pi y}}{-y}} =\left(1+e\right)^{\lim\limits_{y\to 0} \frac{\sin {\pi y}}{y}} =$

Воспользуемся заменой эквивалентных бесконечно малых:

$\sin {\pi y} \sim \pi y$, при $y \to 0\left(\pi y\to 0\right)$

Получаем:

$= \left(1+e\right)^{\lim\limits_{y\to 0} \frac{\pi y}{y}} = \left(1+e\right)^{\lim\limits_{y\to 0} \pi} = \left(1+e\right)^{\pi}$