Задача Кузнецов Пределы 2-2

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to\infty} \frac {(3 - n)^4 - (2 - n)^4} {(1 - n)^4 - (1 + n)^4}$

Решение

$\lim_{n\to\infty} \frac {(3 - n)^4 - (2 - n)^4} {(1 - n)^4 - (1 + n)^4} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {\left((3 - n)^2 - (2 - n)^2\right)\cdot \left((3 - n)^2 + (2 - n)^2\right)} {\left((1-n)^2 - (1+n)^2\right) \cdot \left((1-n)^2 + (1+n)^2\right)} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {(9 - 6n + n^2 - 4 + 4n - n^2)\cdot (9 - 6n + n^2 + 4 - 4n + n^2)} {(1-2n + n^2 - 1 - 2n - n^2) \cdot(1- 2n + n^2 + 1+2n+ n^2)} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {(5 - 2n)\cdot (13 - 10n + 2n^2)} {-4n \cdot(2+ 2n^2)} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {n^3 \left(\left(\frac {5} {n} - 2 \right)\cdot \left(\frac {13} {n^2}- \frac {10} {n} + 2\right)\right)} {n^3 \left( -4 \left(\frac {2} {n^2}+ 2\right)\right)} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {\left(\frac {5} {n} - 2 \right)\cdot \left(\frac {13} {n^2}- \frac {10} {n} + 2\right)} { -4 \left(\frac {2} {n^2}+ 2\right)} = \frac {(0 - 2) \cdot (0 - 0 + 2)} {-4(0+2)} = \frac {-4} {-8} = \frac {1} {2}$