Задача Кузнецов Пределы 2-3

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to\infty} \frac {(3 - n)^4 - (2 - n)^4} {(1 - n)^3 - (1 + n)^3}$

Решение

$\lim_{n\to\infty} \frac {(3 - n)^4 - (2 - n)^4} {(1 - n)^3 - (1 + n)^3} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {\left((3 - n)^2 - (2 - n)^2\right)\cdot \left((3 - n)^2 + (2 - n)^2\right)} {1 - 3n + 3n^2 - n^3 - 1 - 3n -3n^2 - n^3} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {(9 - 6n + n^2 - 4 + 4n - n^2)\cdot (9 - 6n + n^2 + 4 - 4n + n^2)} {-6n - 2n^3} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {(5 - 2n)\cdot (13 - 10n + 2n^2)} {-2n \cdot(3 + n^2)} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {n^3 \left(\left(\frac {5} {n} - 2 \right)\cdot \left(\frac {13} {n^2}- \frac {10} {n} + 2\right)\right)} {n^3 \left( -2 \left(\frac {3} {n^2}+ 1\right)\right)} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {\left(\frac {5} {n} - 2 \right)\cdot \left(\frac {13} {n^2}- \frac {10} {n} + 2\right)} { -2 \left(\frac {3} {n^2}+ 1\right)} = \frac {(0 - 2) \cdot (0 - 0 + 2)} {-2(0+1)} = \frac {-4} {-2} = 2$