Задача Кузнецов Пределы 2-31

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to\infty} \frac {(2n + 1)^2 - (n + 1)^2} {n^2 + n + 1}$

Решение

$\lim_{n\to\infty} \frac {(2n + 1)^2 - (n + 1)^2} {n^2 + n + 1} = \lim_{n\to\infty} \frac {4n^2 + 4n + 1 - n^2 -2n - 1} {n^2 + n + 1} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {\frac {1} {n^2}(3n^2 + 2n)} {\frac {1} {n^2}(n^2 + n + 1)} = \lim_{n\to\infty} \frac {3 + \frac {2} {n}} {1 + \frac {1} {n} + \frac {1} {n^2}} = \frac {3 + 0} {1 + 0 + 0} = 3$