Задача Кузнецов Пределы 2-8

У этой задачи может быть и другое условие (возможно из-за разных изданий или ошибки). Подробней см. 2-8(2)

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to\infty} \frac {(3 - 4n)^2} {(n - 3)^3 - (n + 3)^3}$

Решение

$\lim_{n\to\infty} \frac {(3 - 4n)^2} {(n - 3)^3 - (n + 3)^3} =$

$\lim_{n\to\infty} \frac {9 - 24n + 16n^2} {n^3 -3\cdot n^2 \cdot 3 +3\cdot n \cdot 3^2 - 3^3 - n^3 -3\cdot n^2 \cdot 3 - 3\cdot n \cdot 3^2 - 3^3} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {9 - 24n + 16n^2} {-3\cdot n^2 \cdot 3 - 3^3 - 3\cdot n^2 \cdot 3 - 3^3} =\lim_{n\to\infty} \frac {9 - 24n + 16n^2} {-2\cdot 3^2\left(n^2 + 3\right)} =$

$=\lim_{n\to\infty} \frac {\frac{1}{n^2}\left(9 - 24n + 16n^2\right)} {\frac{1}{n^2}(-2)\cdot 3^2\left(n^2 + 3\right)} =\lim_{n\to\infty} \frac {\frac{9}{n^2} - \frac{24}{n} + 16} {-2\cdot 3^2\left(1 + \frac{3}{n^2}\right)} =$

$= \frac {0 - 0 + 16} {-2\cdot 3^2\left(1 + 0\right)} =\frac {16} {-2\cdot 3^2} = -\frac{8}{9}$