Задача Кузнецов Пределы 2-9

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to\infty} \frac {(3 - n)^3} {(n + 1)^2 - (n + 1)^3}$

Решение

$\lim_{n\to\infty} \frac {(3 - n)^3} {(n + 1)^2 - (n + 1)^3} = \lim_{n\to\infty} \frac {\frac {1} {n^3}(3 - n)^3} {\frac {1} {n^3} \left((n + 1)^2 - (n + 1)^3\right)} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {(\frac {3} {n} - 1)^3} {\frac {1} {n} (1 + \frac {1} {n})^2 - (1 + \frac {1} {n})^3} = \lim_{n\to\infty} \frac {-1^3} {0\cdot1^2 - 1^3} = 1$