Задача Кузнецов Пределы 20-1

Условие задачи

Вычислить предел функции:

$\lim_{x\to 0} \sqrt {4\cos{3x}+x\cdot\operatorname{arctg}{\left(\frac{1}{x}\right)}}$

Решение

Так как $\operatorname{arctg}{\left(\frac{1}{x}\right)}$ - ограничена, то

$x\cdot \operatorname{arctg}{\left(\frac{1}{x}\right)} \to 0$, при $x\to 0$

Тогда:

$\lim_{x\to 0} \sqrt {4\cos{3x}+x\cdot\operatorname{arctg}{\left(\frac{1}{x}\right)}} = \sqrt {4\cos{(3\cdot 0)}+0} = \sqrt {4} =2$