Задача Кузнецов Пределы 20-3

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \frac{2n-\sin{n}}{\sqrt {n} -\sqrt[3]{n^3-7}}$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \frac{2n-\sin{n}}{\sqrt {n} -\sqrt[3]{n^3-7}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n}\left(2n-\sin{n}\right)}{\frac{1}{n}\left(\sqrt {n} -\sqrt[3]{n^3-7}\right)} =$

$= \lim_{n\to \infty} \frac{2-\frac{\sin{n}}{n}}{\sqrt {\frac{1}{n}} -\sqrt[3]{1-\frac{7}{n^3}}} =$

Так как $\sin{n}$ - ограничена, то

$\frac{\sin{n}}{n}\to 0$, при $n\to \infty$

Тогда:

$= \lim_{n\to \infty} \frac{2-0}{\sqrt {0} -\sqrt[3]{1-0}} = \lim_{n\to \infty} \frac{2}{0 - 1} = -2$