Задача Кузнецов Пределы 20-31

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^2+3n-1}+\sqrt[3]{2n^2+1}}{n+2\sin{n}}$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^2+3n-1}+\sqrt[3]{2n^2+1}}{n+2\sin{n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n}\left(\sqrt{n^2+3n-1}+\sqrt[3]{2n^2+1}\right)}{\frac{1}{n}\left(n+2\sin{n}\right)} =$

$= \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}}+\sqrt[3]{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^3}}}{1+2\frac{\sin{n}}{n}} =$

Так как $\sin{n}$ - ограничена, то

$\frac{\sin{n}}{n}\to 0$, при $n\to \infty$

Тогда:

$= \frac{\sqrt{1+0-0}+\sqrt[3]{0+0}}{1+2\cdot 0} = \frac{\sqrt{1}+\sqrt[3]{0}}{1} = 1$