Задача Кузнецов Пределы 20-9

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to \infty} \frac{n^2-\sqrt{3n^5-7}}{\left(n^2-n\cos {n}+1\right)\sqrt {n}}$

Решение

$\lim_{n\to \infty} \frac{n^2-\sqrt{3n^5-7}}{\left(n^2-n\cos {n}+1\right)\sqrt {n}} = \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n^2\sqrt{n}}\left(n^2-\sqrt{3n^5-7}\right)}{\frac{1}{n^2\sqrt{n}}\left(n^2-n\cos {n}+1\right)\sqrt {n}} =$

$= \lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{3-\frac{7}{n^5}}}{1-\frac{\cos {n}}{n}+\frac{1}{n^2}} =$

Так как $\cos{n}$ - ограничена, то

$\frac{\cos{n}}{n}\to 0$, при $n\to \infty$

Тогда:

$= \frac{0-\sqrt{3-0}}{1-0+0} = -\sqrt{3}$