Задача Кузнецов Пределы 3-1

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to\infty} \frac {n\sqrt[3]{5n^2} + \sqrt[4]{9n^8 + 1}} {\left(n + \sqrt{n}\right)\sqrt{7 - n + n^2}}$

Решение

$\lim_{n\to\infty} \frac {n\sqrt[3]{5n^2} + \sqrt[4]{9n^8 + 1}} {\left(n + \sqrt{n}\right)\sqrt{7 - n + n^2}} = \lim_{n\to\infty} \frac {\frac {1} {n^2} \left(n\sqrt[3]{5n^2} + \sqrt[4]{9n^8 + 1}\right)} {\frac {1} {n^2}\left(n + \sqrt{n}\right)\sqrt{7 - n + n^2}} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {\sqrt[3]{\frac {5} {n}} + \sqrt[4]{9 + \frac {1} {n^8}}} {\left(1 + \sqrt{\frac {1} {n}}\right)\sqrt{\frac{7}{n^2} - \frac {1} {n} + 1}} = \frac {\sqrt[3]{0} + \sqrt[4]{9 + 0}} {\left(1 + \sqrt{0}\right)\sqrt{0 - 0 + 1}} = \frac {\sqrt{3}} {1} = \sqrt{3}$