Задача Кузнецов Пределы 3-2

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to\infty} \frac {\sqrt{n - 1} - \sqrt{n^2 + 1}} {\sqrt[3]{3n^3 + 3} + \sqrt[4]{n^5 + 1}}$

Решение

$\lim_{n\to\infty} \frac {\sqrt{n - 1} - \sqrt{n^2 + 1}} {\sqrt[3]{3n^3 + 3} + \sqrt[4]{n^5 + 1}} = \lim_{n\to\infty} \frac {\frac {1} {n} \left(\sqrt{n - 1} - \sqrt{n^2 + 1}\right)} {\frac {1} {n} \left(\sqrt[3]{3n^3 + 3} + \sqrt[4]{n^5 + 1}\right)} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {\sqrt{\frac {1} {n} - \frac {1} {n^2}} - \sqrt{1 + \frac {1} {n^2}}} {\sqrt[3]{3 + \frac {3} {n^3}} + \sqrt[4]{n + \frac {1} {n^4}}} = \left \{\frac {\sqrt{0 - 0} - \sqrt{1 + 0}} {\sqrt[3]{3 + 0} + \sqrt[4]{\infty}} = \frac {-1} {\infty}\right \} = 0$