Задача Кузнецов Пределы 3-3

Условие задачи

Вычислить предел числовой последовательности:

$\lim_{n\to\infty} \frac {\sqrt{n^3 + 1} - \sqrt{n - 1}} {\sqrt[3]{n^3 + 1} - \sqrt{n - 1}}$

Решение

$\lim_{n\to\infty} \frac {\sqrt{n^3 + 1} - \sqrt{n - 1}} {\sqrt[3]{n^3 + 1} - \sqrt{n - 1}} = \lim_{n\to\infty} \frac {\frac {1} {n}\left(\sqrt{n^3 + 1} - \sqrt{n - 1}\right)} {\frac {1} {n}\left(\sqrt[3]{n^3 + 1} - \sqrt{n - 1}\right)} =$

$= \lim_{n\to\infty} \frac {\sqrt{n + \frac {1} {n^2}} - \sqrt{1 - \frac {1} {n}}} {\sqrt[3]{1 + \frac {1} {n^3}} - \sqrt{\frac {1} {n} - \frac {1} {n^2}}} = \left \{\frac {\sqrt{\infty + 0} - \sqrt{1 - 0}} {\sqrt[3]{1 + 0} - \sqrt{0 - 0}} = \frac {\infty} {1} \right \} = \infty$